习题 3, § 8

令 T 为局部紧致空间，$\mu$ T 上的正测度，$f$ 定义在 T 上的数值函数 $\geq 0$。在乘积空间 $T \times \mathbf{R}$ 中，用 $D_f$ 集合表示点$(t,x)$使得$0 \leq x \leq f(t)$；另一方面，令 $\nu$ 为$\mathbf{R}$ 的勒贝格测度。

a) 证明要使 $f$ $\mu$ 可测，$D_f$ 对于乘积测度 $\lambda = \mu \otimes \nu$ 是可测的集合是充分必要的。 （要证明条件是必要的，请证明如果$f$是$\mu$可测的，那么对于T的每个紧致子集K，$D_f \cap (K \times \mathbf{R}_+)$是$\lambda$可忽略的集合的并以及可数族形式 $A \times I$的集合，其中A是$\mu$可测，I是$\mathbf{R}_+$的区间。为了证明条件是充分的，证明如果满足，则对于T的每个紧致子集K，都存在一个稠密的。 集合 $H \subset \mathbf{R}_+$，对于每个 $\alpha \in H$，$K \cap f([\alpha,+\infty])$ 是 $\mu$ 可测量的，使用第 7 条的 Cor.2。）

b) 证明，对于 $f$ $\mu$ 可积，$D_f$ $\lambda$ 可积是充分必要的，然后就有 $\lambda(D_f) = \int f d\mu$。此外，用$g(t) = \mu(f([t,+\infty]))$定义的$\mathbf{R}_+$上的$g$递减数字函数表示（对于$t = 0$可能等于$+\infty$（第IV, §5，Exer.29）），一个人有$\int f d\mu = \int_0^{+\infty} g(t) dt$。