习题 8, § 8

令$T$为局部紧凑空间，$\mu$为$T$上的正测度$\neq 0$，$A$为离散空间，$\lambda$为$A$上的测度，由$A$的每个点处的质量+1定义。

a) 为了将 $A \times T$ 的映射 $f$ 转换为空间 $(\lambda \otimes \mu)$ 可测，对于每个$\alpha \in A$，映射 $t \mapsto f(\alpha, t)$ $\mu$ 可测是充分必要的。

b) 对于在$A \times T$上定义的函数$f$，$\overline{\mathbf{R}}$或Banach空间中的值，要$(\lambda \otimes \mu)$可积，有充分必要：$1^\circ$除了可数的集合 $\alpha \in A$、函数$t \mapsto f(\alpha, t)$值相同零；对于每个$\alpha \in A$，$2^\circ$，函数$t \mapsto f(\alpha, t)$是$\mu$可积； $3^\circ$$\sum_{\alpha \in A} \int |f(\alpha, t)| d\mu(t) < +\infty$。对于$f$本质上$(\lambda \otimes \mu)$可积，必要且充分的是：$1^\circ$对于每个$\alpha \in A$，函数$t \mapsto f(\alpha, t)$本质上$\mu$可积； $2^\circ$$\sum_{\alpha \in A} \int |f(\alpha, t)| d\mu(t) < +\infty$；那么一个人有

c) 设$X$为局部紧凑空间，$(\alpha, t) \mapsto \rho_{\alpha, t}$$X$（$\alpha \in A$，$t \in T$）上的一系列积极措施。在阶中，族$(\alpha, t) \mapsto \rho_{\alpha, t}$为$(\mu \otimes \nu)$充足，对于每个$\alpha \in A$，族$t \mapsto \rho_{\alpha, t}$为$\mu$充足，并且措施族$(\int \rho_{\alpha, t}\, d\mu(t))_{\alpha \in A}$可求和是充分必要的。