习题 9, § 8

令$u$和$v$为两个递增和$\mathbf{R}$上的右连续数值函数，使得$u(x) = v(x) = 0$对应于$x < 0$。令$w$在$\mathbf{R}$上为递增右连续函数，对于$t \geq 0$由$w(t) = u(t)v(t)$定义，对于$t < 0$由$w(t) = 0$定义；令 $\lambda, \mu, \nu$ 分别为与 $u, v, w$ 相关的 Stieltjes 测度（§6，Exer.5）。

对于在 $\mathbf{R}$ 上定义的每个函数 $f$，以及在 $\overline{\mathbf{R}}$ 或 Banach 空间 $F$ 中定义的值，可以得到在 $\mathbf{R}^2$ 上定义的对应函数 $\bar{f}$如果 y < x，则条件$\bar{f}(x, y) = f(x)$，如果$y \geq x$，则$\bar{f}(x, y) = f(y)$。证明，要使 $f$ $\nu$ 可积，$\bar{f}$ 对于乘积测度 $\lambda \otimes \mu$ 可积是必要且充分的，在这种情况下，$\int f\, d\nu = \iint \bar{f}\, d\lambda\, d\mu$（首先证明特征函数间隔）。由此推导出公式

特别是，如果$u$和$v$在$\mathbf{R}$上连续，则通过部分*积分可得到*公式