Bourbaki

习题 5, § 3

标签 0AR7，永久不变。引用为 [Bourbaki, Tag 0AR7]。

李群与李代数, V

Bourbaki marks this one as harder than the rest.

Google 翻译生成的粗略草稿，质量较低。术语依照术语表，但句子可能有误；之后会由仔细的译文取代。

令 V 为有限维实数向量空间，W 为由反射生成的 GL(V)\mathbf{GL}(V) 的有限子群，C 为 W 和 S 集合的房间，壁为 C。如果J⊂SJ \subset S，则令WJW_J为sHs_H为H∈JH \in J生成的W的子群，并令ε(J)=(−1)Card(J)\varepsilon(J) = (-1)^{\mathrm{Card}(J)}。表明

1Card(W)=∑J⊂Sε(J)Card(WJ). \frac{1}{\mathrm{Card}(W)} = \sum_{J \subset S} \frac{\varepsilon(J)}{\mathrm{Card}(W_J)}.

(*)

（令 (x∣y)(x|y) 为 W 下 V 不变量的标量乘积，Σ\Sigma 单位 V 球体，μ\mu 为 W 下且总质量 1 的 Σ\Sigma 不变量的正测度。如果 H∈SH \in S，令DHD_H是由H和包含C确定的开半空间，则设EH=DH∩ΣE_H = D_H \cap \Sigma。

(−C‾)∩Σ=⋂H∈S(Σ−EH), (-\overline{C}) \cap \Sigma = \bigcap_{H \in S} (\Sigma - E_H),

所以

1Card(W)=μ(C‾∩Σ)=∫Σ∏H∈S(1−φEH)dμ \frac{1}{\mathrm{Card}(W)} = \mu(\overline{C} \cap \Sigma) = \int_{\Sigma} \prod_{H \in S} (1 - \varphi_{E_H}) d\mu
=∑J⊂Sε(J)μ(⋂H∈JEH). = \sum_{J \subset S} \varepsilon(J) \mu \left( \bigcap_{H \in J} E_H \right).

结论，通过评论⋂H∈JEH\bigcap_{H \in J} E_H是交与WJW_J的房间的Σ\Sigma，因此其度量等于1/Card(WJ)1/\mathrm{Card}(W_J)。）

通过Exerc恢复公式(*)。第 26 章 e) IV, § 1（将t=1t = 1放入有问题的习题证明的身份中）。

解答

尚未写出解答。

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