习题 3, § 10

假设$k$是$\mathbf{R},\mathbf{C}$，或者是非离散完全超度量域。给出$\mathfrak{g}$的向量子空间的格拉斯曼$\mathbf{G}(\mathfrak{g})$其解析流形的自然结构超过$k($可微和解析流形，结果，5.2.6）。考虑由以下公式构成的 $\mathbf{G}(\mathfrak{g})$ 的子集：

（一）子代数

(ii) 可解子代数

(iii) 幂零子代数

(iv) 子代数由……组成共幂零元

(v) 博雷尔子代数。

证明这些子集是封闭的（对于 (v)，使用 Exerc.2）。当 $k$ 局部紧致时，推断这些子集是紧致的。

由例可知 $\mathbf{G}(\mathfrak{g})$ 的子集由以下公式组成：

（六）嘉当子代数

(vii) 子代数还原为 $\mathfrak{g}$

（八）半单子代数

(ix) 可分解的子代数

即使$k=\mathbf{C}$，也不一定是封闭的。