习题 10, § 11

假设$\mathfrak{g}$是可分割的半单。设$(x, h, y)$是$\mathfrak{g}$中的$\mathfrak{s}\mathfrak{l}_2$三元组。

a) 证明存在$\mathfrak{g}$包含于$h$中的分裂嘉当子代数$\mathfrak{h}$。 （使用§3的练习$10b$）。）

b) 选择 $\mathfrak{h}$ 如a) 中。证明 $h\in \mathfrak{h}_{\mathbf{Q}}$ 并且存在 $R(\mathfrak{g},\mathfrak{h})$ 的基 B，使得 $\alpha (h)\in \{0,1,2\}$ 对于所有 $\alpha \in B$（cf. 命题 5）。由$\mathfrak{g}^{\alpha},\alpha \in B$生成的$\mathfrak{g}$的元素$x$属于到子代数。

c) 从 a) 和 b) 以及 Jacobson-Morozov 定理推出新的证明，$\mathfrak{g}$ 的每个幂零元都包含在博雷尔子代数中（cf. §10，Th.1 的 Cor.2）。