习题 17, § 11

设$(x, h, y)$为半单代数$\mathfrak{g}$中的主要$\mathfrak{s}\mathfrak{l}_2$三元组。对于所有$i\in \mathbf{Z}$，用$\mathfrak{g}_i$表示广告$h$相对于特征值$i$的特征空间；如果$i$是奇数，我们就有$\mathfrak{g}=\bigoplus_{i\in\mathbf{Z}}\mathfrak{g}_i$和$\mathfrak{g}_i= 0$。 $\mathfrak{g}_i,i\geq 0$ 中的直和 $\mathfrak{b}$ 是

$\mathfrak{g}$的博雷尔子代数，$\mathfrak{g}_0$是嘉当子代数。

a) 证明，对于所有 $z\in \mathfrak{b}$，$\mathfrak{g}$ 中$y+z$ 的交换子是维数 $l=$ rk($\mathfrak{g}$)。

b) 令I为$\mathfrak{g}$上不变多项式函数的代数，且$P_1, . . . ,P_l$齐次元素为I生成的I；输入 deg(P$_i$) $=k_i=m_i+ 1$。证明$\mathfrak{g}$中$x$的交换子$\mathfrak{c}$有基$x_1, . . . , x_l$和$x_i\in \mathfrak{g}_{2m_i}$（cf.练习11）。

c) 令$i\in 1, l$，并令$J_i$（或$K_i$）为$j\in (1, l)$的集合，使得$m_j=m_i$（或$m_j< m_i$）。令 $f_i\in k[X_1, . . . ,X_l]$ 为多项式，使得

$f_i(a_1, . . . , a_l) = P_i(y+\sum_{j=1}^{j=l}a_jx_j)$ 为 $(a_j)\in k^l$。

证明$f_i$是$X_j,j\in J_i$中线性形式$L_i$的和，以及$X_j,j\in K_i$中的多项式。 （如果 $\mathfrak{g}$ 的 $t\in k^*$、自同构等于 $\mathfrak{g}_i$ 属于到 Aut$_0(\mathfrak{g})$ 上的 $t^i$，并且需要 $y$ 到 $t^{-2}y$ 和 $x_j$ 到 $t^{2m_j}x_j$。使用以下不变性$P_i$在此自同构之下。）

d) 令 P 为由 $P_i$ 定义的从 $\mathfrak{g}$ 到 $k^l$ 的映射。如果$z\in \mathfrak{g}$，用$D_zP :\mathfrak{g}\rightarrow k^l$表示P在$z$处的切线映射（章节VII，附录I，no. 2）。

显示 $\mathfrak{c}\cap$ Im ad($y-x$) $= 0$（相对于给定 $\mathfrak{s}\mathfrak{l}_2$ 三元组生成的子代数，将$\mathfrak{g}$分解为简单子模的直和）。推导出$D_{y-x}P$到$\mathfrak{c}$的限制是从$\mathfrak{c}$到$k^l$的同构（使用前面的§8的习题和练习$18a$）。利用该结果证明c)中定义的线性形式$L_i$的行列式是$\not= 0$，并推导出以下结果：

$d_1)$多项式$f_1, . . . , f_l$是代数独立的且生成$k[X_1, . . . ,X_l]$；

从$\mathfrak{c}$到$k^l$的$d_2)$映射$z \rightarrow P(y+z)$是双射多项式，逆矩阵映射是多项式；

$d_3)$ 对于所有 $z\in y+\mathfrak{c}$，线性映射 $D_zP|\mathfrak{c}$ 为秩 $l$。

特别是，映射$P :\mathfrak{g}\rightarrow k^l$是满射的。

e) 如果$k$是代数闭的，$\mathfrak{g}$的每个元素，其交换子是维数$l$，在$y+\mathfrak{c}$的Aut$_0(\mathfrak{g})$到唯一元素下都是共轭。 f) 给出一个简单的李代数的例，没有主$\mathfrak{s}\mathfrak{l}_2$三元组，其中映射P不是满射的（取$k=\mathbf{R}$和$l= 1$）。