习题 14, § 13

a) Let G be the group associated to $\mathfrak{g}=\mathfrak{s}\mathfrak{l}(n, k)$ by the procedure of §7, Exerc. 26. $k^n$上自然的$\mathfrak{g}$模块结构产生同态$\varphi : G\rightarrow \mathbf{G}\mathbf{L}(n, k)$。 使用本地。引用。 h) 证明$\varphi$是单射的，并且loc。引用。 f) 证明

我（$\varphi$）$=\mathbf{S}\mathbf{L}(n, k)$。

b) 设 E 为有限维 $\mathfrak{s}\mathfrak{l}(n, k$) 模，且 $\rho$ 相应的表示为 $\mathfrak{s}\mathfrak{l}(n, k)$。证明存在唯一的表示 $\pi :\mathbf{S}\mathbf{L}(n, k)\rightarrow \mathbf{G}\mathbf{L}(E)$，使得 $\pi (e^x) =e^{\rho(x)}$ 对于 $\mathfrak{s}\mathfrak{l}(n, k)$ 的每个幂零元 $x$（使用 $a$）$)$。我们说$\rho$和$\pi$是兼容的。将$n= 2$证明的结果推广到§1, no. 4。

c) 假设 $k$ 是 $\mathbf{R},\mathbf{C}$ 或对于具有特征 $\not= 0$ 剩余类域的离散评估来说，是完整的域。证明$\rho$和$\pi$兼容当且仅当$\pi$是李群的同态使得$L(\pi ) =\rho$（与Exerc.$18b$中的方法相同）§1）。

d) 证明 $\mathfrak{s}\mathfrak{p}(2n, k)$ 和 $\mathbf{S}\mathbf{p}(2n, k)$ 的类似结果。