习题 16, § 13

令$\mathfrak{g}$为$k$的型$A_l(l\geq 2), \overline{k}$代数闭包的绝对简单李代数，以及在Exerc中定义的$\pi :$Gal($\overline{k}/k$)$\rightarrow$Aut($\overline{R},\overline{B}$)同态。 §5 中的 8 个。

a) 假设 $\pi$ 是微不足道的。证明$U(\mathfrak{g})$恰好存在两个双面理想$\mathfrak{m}$和$\mathfrak{m}'$，使得$D = U(\mathfrak{g})/\mathfrak{m}$和$D'= U(\mathfrak{g})/\mathfrak{m}'$是维数$(l+ 1)^2$的中心单代数（使用§7的练习8）。 $U(\mathfrak{g})$的主要反自同构交换$\mathfrak{m}$和$\mathfrak{m}'$；特别是，$D'$与 D 的相反同构。复合$\mathfrak{g}\rightarrow U(\mathfrak{g})\rightarrow D$将$\mathfrak{g}$与迹零的元素的 D 由……组成的谎言子代数$\mathfrak{s}\mathfrak{l}_D$等同。此外，当且仅当 D 同构于 $\mathbf{M}_{l+1}(k)$ 时，$\mathfrak{g}$ 是可分裂的（因此与 $\mathfrak{s}\mathfrak{l}(l+ 1, k)$ 同构）。

相反，如果$\Delta$是维数$(l+ 1)^2$的中心单代数，李代数$\mathfrak{s}\mathfrak{l}_{\Delta}$绝对是型$A_l$的简单，并且相应的同模-

$^{21}$有关习题的更多详细信息，请参阅：V。 W.吉勒敏、D.奎伦和 S.

STERNBERG，无限的不可约复形代数的分类

型，J.分析数学，卷。 XVII（1967），第 107-112 页。 phism $\pi$ 是微不足道的。当且仅当$\Delta$和$\Delta '$同构或反同构时，两个这样的代数、$\mathfrak{s}\mathfrak{l}_{\Delta}$和$\mathfrak{s}\mathfrak{l}_{\Delta'}$是同构的。

b) 假设 $\pi$ 是不平凡的。由于Aut($\overline{R},\overline{B}$)有两个元素，$\pi$的核是指标2的Gal($\overline{k}/k$)的开子群，其中对应通过伽罗瓦理论到二次扩张 $k_1$ 共 $k$。用 $x \rightarrow \overline{x}$ 表示 $k_1$ 的非平凡对合。

证明存在$U(\mathfrak{g})$的唯一双面理想$\mathfrak{m}$，使得D = $U(\mathfrak{g})/\mathfrak{m}$是维数$2(l+ 1)^2$的单代数，其中中心是$k$的二次扩张（相同方法）。 D 的中心可以用$k_1$ 来识别。理想的$\mathfrak{m}$在$U(\mathfrak{g})$的主反自同构下是稳定的；通过将 D 的内合反自同构 $\sigma$ 传递给商，定义使得$\sigma (x) = \overline{x}$ 对于所有 $x\in k_1$。复合映射$\mathfrak{g}\rightarrow U(\mathfrak{g})\rightarrow D$将$\mathfrak{g}$与元素$x$的D由……组成的谎言子代数$\mathfrak{s}\mathfrak{u}_{D,\sigma}$进行识别，使得$\sigma (x) =-x$和Tr$_{D/k_1}(x) = 0$。相反，如果$\Delta$是维数$(l+1)^2$的中心简单$k_1$代数，配备内卷反自同构$\sigma$，其限制到$k_1$是$x \rightarrow \overline{x}$，李代数 $\mathfrak{s}\mathfrak{u}_{\Delta ,\sigma}$绝对是型$A_l$的简单组合，相应的同态$\pi$是与$k_1$相关的。当且仅当存在$k$同构$f:\Delta \rightarrow \Delta '$使得$\sigma '\circ f=f\circ \sigma$时，两个这样的代数$\mathfrak{s}\mathfrak{u}_{\Delta ,\sigma}$和$\mathfrak{s}\mathfrak{u}_{\Delta',\sigma'}$是同构的。

证明，当 $D =\mathbf{M}_{l+1}(k_1)$ 时，存在次数 $l+ 1$ 的可逆厄米特矩阵 $H$，直到乘法元素 $k^*$ 为止唯一，使得

对于所有$x\in \mathbf{M}_{l+1}(k_1)$；然后可以将代数$\mathfrak{g}$与矩阵$x$的代数$\mathfrak{s}\mathfrak{u}(l+ 1, H)$由……组成进行识别，使得$x.H+H.^t\overline{x}= 0$和Tr($x$)$= 0$。