习题 2, § 13

令$(\mathfrak{g},\mathfrak{h})$为分裂的简单李代数，且$R(\mathfrak{g},\mathfrak{h})$的B基。最小维数的简单 $\mathfrak{g}$ 模块 $E(\lambda ),\lambda \in P_{++}$ -- $\{0\}$ 是那些 $\lambda$ 是以下权之一的模块：

$\varpi_1(A_1);\varpi_1$和$\varpi_l(A_l,l\geq 2);\varpi_1(B_l$和$C_l,l\geq 2);\varpi_1, \varpi_3$和$\varpi_4$$(D_4);\varpi_1(D_l,l\geq 5);\varpi_1$和$\varpi_6(E_6);\varpi_7(E_7);\varpi_8(E_8);\varpi_4(F_4);\varpi_1(G_2)$。

任何两个这样的模都可以通过$\mathfrak{g}$的自同构相互转化。

型 $E_8$ 是唯一一个其伴随表示的最小值为维数。