习题 10, § 3

设$\mathfrak{a}$为半单李代数，$x$元素等于$\mathfrak{a}$。如果广告$x$可对角化（代数，第VII），则$x$可对角化，在其他字中，如果广告$x$的特征向量存在$\mathfrak{a}$由……组成的基。

a) 令$\mathfrak{c}$为可对角化的元素的$\mathfrak{a}$由……组成交换子代数，并令L为表示和$_{\mathfrak{a}}$中的$\mathfrak{c}$权集合。 集合L是$\mathfrak{c}^*$包含0（除非$\mathfrak{a}= 0$）和$\mathfrak{a}=\bigoplus_{\lambda\in L}\mathfrak{a}^{\lambda}(\mathfrak{c})$的有限子集。证明存在 L 的子集 M，使得 L -- $\{0\}$ 是 M 和 $-M$ 的不相交的并，并且$(M + M)\cap L\subset M$。如果 M 具有这些属性，则放入 $\mathfrak{a}^M=\bigoplus_{\lambda\in M}\mathfrak{a}^{\lambda}(\mathfrak{c})$ 和 $\mathfrak{p}^M=\mathfrak{a}^0(\mathfrak{c})\oplus \mathfrak{a}^M$。 代数 $\mathfrak{a}^0(\mathfrak{c})$是$\mathfrak{c}$在$\mathfrak{a}$的交换子；它在$\mathfrak{a}$（第VII, §1, no. 5章）中被还原，并且它的嘉当子代数是$\mathfrak{a}$（第VII, §2, no. 3章）的嘉当子代数。证明 $\mathfrak{p}^M$ 是

$^{11}$这个习题是由A. JOSEPH传达给我们的。 $\mathfrak{a}$的抛物线子代数，并且$\mathfrak{a}^M$是$\mathfrak{p}^M$的根式的幂零元的集合。 （使用$\mathfrak{c}$包含在$\mathfrak{a}$和约化的嘉当子代数中，通过标量的扩张，来说明子代数是分裂的情况。）

b) 保留a)的假设和记号，并假设加法中$\mathfrak{a}$是可分裂的。证明$\mathfrak{c}$包含在$\mathfrak{a}$的分裂嘉当子代数中。 （取$\mathfrak{p}^M$中包含的$\mathfrak{a}$的分裂嘉当子代数$\mathfrak{h}$；则存在$\mathfrak{a}^0(\mathfrak{c})$的唯一嘉当子代数$\mathfrak{h}'$，使得$\mathfrak{h}$包含在$\mathfrak{h}'\oplus \mathfrak{a}^M$中；证明$\mathfrak{h}'$ 是 $\mathfrak{a}$ 的分裂嘉当子代数，并且$\mathfrak{h}'$ 包含于 $\mathfrak{c}.$）