习题 4, § 6

我们使用no. 4的记号。

a) 设 $m\in \mathbf{N}$。给$\mathbf{N}^m$乘积阶。证明，对于 $\mathbf{N}^m$ 的任意子集 S，S 的最小元素的集合是有限的。

b) 令$\alpha_1, . . . , \alpha_m$与$R,X_i\in \mathfrak{g}^{\alpha_i}$-- $\{0\}, S$集合与非零序列$(p_i)\in \mathbf{N}^m$不同元素，使得$\sum p_i\alpha_i= 0, M$集合与S的最小元素不同。 然后是$\mathfrak{h}$和$X_1^{p_1}. . . X_m^{p_m}$，其中$(p_1, . . . , p_m)\in M$、生成代数$U^0$。

c) 证明 $U^0$ 既是左诺特又是右诺特代数。 （给出 $U^0$ 由 $U(\mathfrak{g})$ 引起的过滤，并通过使用 $a$) 和 b) 显示 gr $U^0$ 是有限型的交换律。）

d) 证明，对于所有 $\lambda \in \mathfrak{h}^*, U^{\lambda}$ 都是有限型的左（或右）$U^0$ 模。

e) 设V是一个简单的$\mathfrak{g}$模块，使得$V =\bigoplus_{\lambda\in\mathfrak{h}^*}V_{\lambda}$。如果$V_{\lambda}\not= 0$之一

是有限维的，那么所有 $V_{\lambda}$ 都是有限维的。 （使用$d$）$.)$