习题 17, § 11

Let $I_0$ be the interval $[ -1, 1 ]$ of $\mathbf{R}$ and let $P_0$ be the quotient space of $I_0$ obtained by identifying the two points $1/2$ and $1$; let $B_0$ be the quotient space of $I_0$ obtained by identifying the points $1/2$ and $1$ and also identifying $-1/2$ and $-1$. 令$I$为$\mathbf{R}$中的开区间]—i, i[，并令P（分别为B）为$P_0$（分别为$B_0$）中I的典范像。

a) 证明三个空间I、P、B中没有两个是同胚的（要证明I和P不是同胚的，请注意P中有点的补集是连通的；对于空间的另一个对也是如此）。

b) 设 X 为空间同胚于I的可数无限族和和与B同胚的空间可数无限族空间。令Y为X和P的和。证明X和Y不是同胚的，但是(i) Y 上有 X 的连续双射，Y 上有 X 的连续双射； (ii) X 同胚于 Y 的开子空间，并且 Y 同胚于 X 的开子空间。*