Bài tập 17, § 11

Cho $I_0$ là khoảng $[ -1, 1 ]$ của $\mathbf{R}$ và $P_0$ là không gian thương của $I_0$ thu được bằng cách đồng nhất hai điểm $1/2$ và $1$; cho $B_0$ là không gian thương của $I_0$ thu được bằng cách đồng nhất các điểm $1/2$ và $1$ và đồng thời đồng nhất $-1/2$ và $-1$. Cho $I$ là khoảng mở ]— i, i[ trong $\mathbf{R}$, và cho P (tương ứng B) là ảnh chính tắc của I trong $P_0$ (tương ứng $B_0$).

a) Chứng minh rằng không có hai trong ba không gian I, P, B là đồng phôi (để chứng minh rằng I và P không đồng phôi, nhận xét rằng có những điểm trong P mà phần bù của chúng là liên thông; tương tự đối với các cặp không gian còn lại).

b) Cho X là tổng của một họ vô hạn đếm được các không gian đồng phôi với I và một họ vô hạn đếm được các không gian đồng phôi với B. Cho Y là tổng của X và P. Chứng minh rằng X và Y không đồng phôi, nhưng rằng (i) có một song ánh liên tục của X lên Y và một song ánh liên tục của Y lên X; (ii) X đồng phôi với một không gian con mở của Y và Y đồng phôi với một không gian con mở của X.