Exercice 17, § 11

Soient $I_0$ l’intervalle $(-1, 1)$ de $\mathbf{R}$, $P_0$ l’espace quotient de $I_0$ obtenu en identifiant dans $I_0$ les deux points $1/2$ et $1$, $B_0$ l’espace quotient de $I_0$ obtenu en identifiant dans $I_0$, d’une part $1/2$ et $1$, d’autre part $-1/2$ et $-1$. Soient $I$ l’intervalle $]-1, 1[$ dans $\mathbf{R}$, $P$ l’image canonique de $I$ dans $P_0$, $B$ l’image canonique de $I$ dans $B_0$.

a) Montrer que deux quelconques des trois espaces I, P, B ne sont pas homéomorphes (pour voir que I et P ne sont pas homéomorphes, remarquer qu’il existe dans P des points dont le complémentaire est connexe; procéder de même pour les deux autres couples d’espaces).

b) Soit X un espace somme d’une famille infinie dénombrable d’espaces homéomorphes à I et d’une famille infinie dénombrable d’espaces homéomorphes à B. Soit Y l’espace somme de X et de P. Montrer que X et Y ne sont pas homéomorphes, mais que: 1° il existe une bijection continue de X sur Y et une bijection continue de Y sur X; 2° X est homéomorphe à un sous-espace ouvert de Y et Y est homéomorphe à un sous-espace ouvert de X.*