习题 25, § 11

给定两个拓扑空间$X, Y$，如果对于每个$x \in X$，$x$有邻域$U$，使得$f(U)$是$f(x)$的邻域，映射$f : X \to Y$被称为局部同胚在$Y$和映射$U \to f(U)$中，其中重合与$U$上的$f$是同胚。每个局部同胚都是一个连续开映射。 a) 假设$X$是豪斯多夫且$Y$局部连通。令 $f : X \to Y$ 为与性质的局部同胚，存在整数 $n > 0$，使得对于每个 $y \in Y$，$f^{-1}(y)$ 恰好有 $n$ 点。证明每个$y \in Y$都有一个开邻域$V$，使得$f^{-1}(V)$有$n$分量$U_i$（$1 \leq i \leq n$），并且映射$U_i \to V$其中重合与$f$在$U_i$ 是同胚。那么$f$就是一个正确的映射。 b) 假设$X$是Hausdorff并且$Y$是连通的并且是局部连通的。令 $f : X \to Y$ 为真局部同胚。证明 $f$ 满足 a) 的假设。 [如果对于每个整数$n > 0$，$Y_n$是$y \in Y$的集合，使得$f^{-1}(y)$至少有$n$点，则表明$Y_n$在$Y$中既开又闭]。 c) 给出满射局部同胚$f : X \to Y$的例，其中$Y$是紧致、连通且局部连通的，$X$是局部紧致、连通且局部连通的，$f^{-1}(y)$对于每个$y \in Y$至多由两个点组成，但$f$是不正确 (cf. § 5, 习题 4).