Bài tập 25, § 11

Cho hai không gian tôpô $X, Y$, một ánh xạ $f : X \to Y$ được gọi là một đồng phôi địa phương nếu với mỗi $x \in X$ tồn tại một lân cận $U$ của $x$ sao cho $f(U)$ là một lân cận của $f(x)$ trong $Y$, và ánh xạ $U \to f(U)$ trùng với $f$ trên $U$ là một đồng phôi. Mọi đồng phôi địa phương đều là một ánh xạ liên tục mở. a) Giả sử rằng $X$ là Hausdorff và $Y$ liên thông địa phương. Cho $f : X \to Y$ là một đồng phôi địa phương với tính chất rằng tồn tại một số nguyên $n > 0$ sao cho $f^{-1}(y)$ có đúng $n$ điểm với mọi $y \in Y$. Chứng minh rằng mọi $y \in Y$ có một lân cận mở $V$ sao cho $f^{-1}(V)$ có $n$ thành phần $U_i$ ($1 \leq i \leq n$) và sao cho ánh xạ $U_i \to V$ trùng với $f$ trên $U_i$ là một đồng phôi. Khi đó $f$ là một ánh xạ thực sự. b) Giả sử rằng $X$ là Hausdorff và $Y$ liên thông và liên thông địa phương. Cho $f : X \to Y$ là một đồng phôi địa phương thực sự. Chứng minh rằng $f$ thỏa mãn các giả thiết của a). [Nếu với mỗi số nguyên $n > 0$, $Y_n$ là tập hợp các $y \in Y$ sao cho $f^{-1}(y)$ có ít nhất $n$ điểm, hãy chứng minh rằng $Y_n$ vừa mở vừa đóng trong $Y$]. c) Cho một ví dụ về một đồng phôi địa phương toàn ánh $f : X \to Y$, trong đó $Y$ là compact, liên thông và liên thông địa phương, $X$ là compact địa phương, liên thông và liên thông địa phương, $f^{-1}(y)$ gồm nhiều nhất hai điểm với mỗi $y \in Y$, nhưng $f$ không phải là thực sự (xem § 5, Bài tập 4).