习题 8, § 11

在 § 4、习题 9 中给出的乘积集合 $X = \prod_{i \in I} X_i$ 上的拓扑的例中，假设 I 是无穷大且基数 t 不可数。证明如果 $X_i$ 是连通的、规则的，并且每个都至少有两个不同的点，则 X 的点 $a = (a_i)$ 的连通分量是 $x = (x_i)$ 的集合，使得 $x_i = a_i$ 除了有限的数之外指标$i \in I$。 （约化对于情况$I = \mathbf{N}$；考虑X的两个点$b = (b_n), c = (c_n)$，使得$b_n \neq c_n$对于所有n。对于每个n，令$(V_{nm})_{m \geq 0}$为$X_n$中$b_n$的开邻域的序列不包含$c_n$且$\overline{V}_{n,m+1} \subset V_{nm}$令Z为X的点$(x_n)$的集合，其中性质：存在整数$k > 0$使得$x_n \in V_{n,n-k}$ 每当 $n \geq k$ 时，证明 Z 在 X 中既开又闭。