Exercice 8, § 11

Dans l’exemple de topologie sur un ensemble produit $X = \prod_{t \in I} X_t$, donné dans I, p. 95, exerc. 9, on suppose que $I$ est infini et le cardinal $c$ non dénombrable. Montrer que si les $X_t$ sont connexes, réguliers et ont chacun au moins deux points distincts, la composante connexe d’un point $a = (a_t)$ de $X$ est l’ensemble des $x = (x_t)$ tels que $x_t = a_t$ sauf pour un nombre fini d’indices $t \in I$. (Se ramener au cas où $I = \mathbf{N}$; considérer deux points $b = (b_n),\ c = (c_n)$ de $X$ tels que $b_n \neq c_n$ pour tout $n$. Pour tout $n$, soit $(V_{nm})_{m \geqslant 0}$ une suite de voisinages ouverts de $b_n$ dans $X_n$, ne contenant pas $c_n$ et telle que $\overline{V}_{n,m+1} \subset V_{nm}$. Soit $Z$ l’ensemble des points $(x_n)$ de $X$ ayant la propriété suivante : il existe un entier $k > 0$ tel que pour $n \geqslant k$, on ait $x_n \in V_{n,n-k}$; montrer que $Z$ est à la fois ouvert et fermé dans $X$.)