Bài tập 8, § 11

Trong ví dụ về một tôpô trên một tập hợp tích $X = \prod_{i \in I} X_i$ cho trong § 4, Bài tập 9, giả sử rằng I là vô hạn và lực lượng t không đếm được. Chứng minh rằng nếu các $X_i$ là liên thông, chính quy, và mỗi $X_i$ có ít nhất hai điểm phân biệt, thì thành phần liên thông của một điểm $a = (a_i)$ của X là tập hợp các $x = (x_i)$ sao cho $x_i = a_i$ ngoại trừ một số hữu hạn các chỉ số $i \in I$. (Rút gọn về trường hợp $I = \mathbf{N}$; xét hai điểm $b = (b_n), c = (c_n)$ của X sao cho $b_n \neq c_n$ với mọi n. Với mỗi n, cho $(V_{nm})_{m \geq 0}$ là một dãy các lân cận mở của $b_n$ trong $X_n$ không chứa $c_n$ và sao cho $\overline{V}_{n,m+1} \subset V_{nm}$. Gọi Z là tập hợp các điểm $(x_n)$ của X có tính chất sau: tồn tại một số nguyên $k > 0$ sao cho $x_n \in V_{n,n-k}$ mỗi khi $n \geq k$. Chứng minh rằng Z vừa mở vừa đóng trong X).