习题 13, § 8

令$X$为集合，令$\Gamma$为$X$的置换群。 a) 令$\mathfrak{F}$为集合 / 子集 / $X$。令$\mathfrak{S}$为$X$上所有拓扑的集合，其中$\mathfrak{F}$的所有集合都是闭集，并且每个$u \in \Gamma$都是同胚。证明集合 $\mathfrak{S}$ 至少有元素 $\mathfrak{T}(\Gamma, \mathfrak{F})$。如果 $X$ 是无穷大，则证明存在 $X$ 的子集集合 $\mathfrak{F}$，使得 $\mathfrak{T}(\Gamma, \mathfrak{F})$ 可访问但不离散（§ 2，习题 8）。 b) 设$J(\Gamma)$为子集$A$或$X$的集合，其具有以下性质：对于每个$x \notin A$，有映射$f \in \Gamma$，使得$f(x) \neq x$保持固定元素共$A$。证明 $X$ 上的每个 Hausdorff 拓扑，其中每个映射 $u \in \Gamma$ 都是 $X$ 自身的同胚，更细比 $\mathfrak{T}_J(\Gamma) = \mathfrak{T}(\Gamma, J(\Gamma))$。 证明拓扑 $\mathfrak{T}_J(\Gamma)$ 是 Hausdorff 当且仅当群 $\Gamma$ 满足以下条件：给定 $X$ 的任意两个不同的元素 $x, y$，存在有限的数元素$u_k \in \Gamma$，这样，如果$F(u_k)$是元素或$X$的集合，并且在$u_k$下不变，则$F(u_k)$覆盖$X$，并且不覆盖$F(u_k)$ 包含 $x$ 和 $y$。 c) 令$\mathfrak{T}_0$表示有理线$\mathbf{Q}$（*对应实直线$\mathbf{R}_*$）的拓扑，并令$\Gamma$为$\mathbf{Q}$（*对应$\mathbf{R}_*$）的所有同胚的群本身。证明拓扑 $\mathfrak{T}_J(\Gamma)$ 与 $\mathfrak{T}_0$ 相同。 d) 设$X$为0和点$1/n$的有理线由……组成的子空间，其中$n$为整数$\geq 1$，并令$\Gamma$为群 $X$ 的同胚。证明拓扑 $\mathfrak{T}_J(\Gamma)$ 不是 Hausdorff，并且 $X$ 相对于此拓扑同胚的群是 $\Gamma$。 e) 令$X$为拓扑空间，使得对于$X$的不同点$x, y$的每个对，存在$X$的同胚$u$自身，使得$u(x) = x$和$u(y) \neq y$（*适用于例、空间$\mathbf{R}^{n_*}$）。令$G$为$X$自身同胚的群，对于每个$x \in X$，令$S_x$为$G$的子群，从而使$x$固定。证明 $S_x$ 等于其在 $G$ 中的归一化器，并且所有子群中的交

$S_x$单独由单位元素组成；特别地，$G$的中心单独由单位元素组成。