习题 27, § 8

设$X$为拓扑空间。证明存在一个柯尔莫戈洛夫（分别为可访问、豪斯多夫、正则）空间 $Y$ 和一个连续映射 $\varphi : X \to Y$，其具有以下泛性质：对于 $X$ 的每个连续映射 $f : X \to Z$ 到一个柯尔莫戈洛夫（分别为可访问， Hausdorff，正则）空间$Z$，存在唯一的连续映射$g : Y \to Z$，使得$f = g \circ \varphi$（集合理论，章IV, § 3, no. 1）。证明：

a) 对于柯尔莫戈洛夫空间，我们可以将$Y$视为$X$除以等价关系$\{ \bar{x} \} = \{ \bar{y} \}$的商空间。

b) 对于可访问的空间，我们可以将$Y$作为$X$与等价关系$R$的商空间：$R$的图是$G$的所有图的交等价在 $X$ 上，使得$G(x)$ 在每个$x \in X$ 的$x$ 内关闭； $R$ 然后包含的图 $x$ 和 $y$ 之间的关系 $\{ \bar{x} \} \cap \{ \bar{y} \} \neq \emptyset$ 的图。

c) 对于 Hausdorff 空间和正则空间，通过特别使用习题 6 a)，证明满足集合理论的条件 (CU_I) 到 (CU_{III})，章 IV, § 3, no. 2。将例，其中$X$不是正则，并且$X$的映射$\varphi : X \to Y$转化为相应的通用正则空间是双射[cf.习题20 b)]。

d) 如果 $X$ 是满足公理 $(O_{III})$ 的拓扑空间，则证明通用柯尔莫哥洛夫空间相应的到 $X$ 与通用正则空间相应的正则同胚$X$。