Exercice 27, § 8

Soit X un espace topologique. Montrer qu’il existe un espace de Kolmogoroff (resp. accessible, séparé, régulier) Y et une application continue $\varphi : X \to Y$ vérifiant la propriété universelle suivante: pour toute application continue $f : X \to Z$ de X dans un espace de Kolmogoroff (resp. accessible, séparé, régulier) Z, il existe une application continue et une seule $g : Y \to Z$ telle que $f = g \circ \varphi$ (E, IV, p. 22). On prouvera successivement que: a) Pour les espaces de Kolmogoroff, on peut prendre pour Y l’espace quotient de X par la relation d’équivalence $\{ \overline{x} \} = \{ \overline{y} \}$. b) Pour les espaces accessibles, on peut prendre pour Y l’espace quotient de X par la relation d’équivalence R suivante: le graphe de R est l’intersection des graphes G d’équivalences dans X tels que G(x) soit fermé dans X pour tout $x \in X$; G contient alors le graphe de la relation $\{ \overline{x} \} \cap \{ \overline{y} \} \neq \varnothing$ entre x et y. c) Pour les espaces séparés et les espaces réguliers, montrer que les conditions (CU₁) à (CU₃) de E, IV, p. 23 sont vérifiées, en utilisant notamment l’exerc. 6 a) de I, p. 101. Donner des exemples où X n’est pas régulier et où l’application $\varphi : X \to Y$ dans l’espace régulier universel correspondant est bijective (cf. I, p. 103, exerc. 20 b)). d) Si X est un espace vérifiant l’axiome (O₃), montrer que l’espace de Kolmogoroff universel correspondant à X est canoniquement homéomorphe à l’espace régulier universel correspondant à X.

e) Si on prend pour X l’espace accessible quasi-compact de l’Exemple 2 de I, p. 60, montrer que l’espace séparé universel correspondant est réduit à un seul point.