Bài tập 27, § 8

Cho X là một không gian tôpô. Bây giờ chứng minh rằng tồn tại một không gian Kolmogoroff (tương ứng, tiếp cận được, phân tách được, chính quy) Y và một ánh xạ liên tục $\varphi : X \to Y$ thỏa mãn tính chất phổ quát sau: với mọi ánh xạ liên tục $f : X \to Z$ từ X vào một không gian Kolmogoroff (tương ứng, tiếp cận được, phân tách được, chính quy) Z, tồn tại một và chỉ một ánh xạ liên tục $g : Y \to Z$ sao cho $f = g \circ \varphi$ (E, IV, p. 22). Ta sẽ lần lượt chứng minh rằng: a) Đối với các không gian Kolmogoroff, có thể lấy Y là không gian thương của X theo quan hệ tương đương $\{ \overline{x} \} = \{ \overline{y} \}$. b) Đối với các không gian tiếp cận được, có thể lấy Y là không gian thương của X theo quan hệ tương đương R sau đây: đồ thị của R là giao của các đồ thị G của các quan hệ tương đương trong X sao cho G(x) là đóng trong X với mọi $x \in X$; khi đó G chứa đồ thị của quan hệ $\{ \overline{x} \} \cap \{ \overline{y} \} \neq \varnothing$ giữa x và y. c) Đối với các không gian phân tách được và các không gian chính quy, bây giờ chứng minh rằng các điều kiện (CU₁) đến (CU₃) của E, IV, p. 23 được thỏa mãn, sử dụng đặc biệt Bài tập 6 a) của I, p. 101. Cho các ví dụ trong đó X không chính quy và trong đó ánh xạ $\varphi : X \to Y$ trong không gian chính quy phổ quát tương ứng là song ánh (xem I, p. 103, Bài tập 20 b)). d) Nếu X là một không gian thỏa mãn tiên đề (O₃), bây giờ chứng minh rằng không gian Kolmogoroff phổ quát tương ứng của X là đồng phôi một cách chính tắc với không gian chính quy phổ quát tương ứng của X.

e) Nếu lấy X là không gian tiếp cận được quasi-compact của Ví dụ 2 của I, p. 60, bây giờ chứng minh rằng không gian phân tách phổ quát tương ứng được rút gọn thành một điểm duy nhất.