习题 11, § 9

令$X_0$为不可数良序集，其中有最大元素；令$a$为$X_0$的最小的元素和元素$x \in X_0$的$b$最小的，使得区间$[a, x[$不可数。让 $X$ 表示区间 $[a, b[$ 和拓扑 $\mathscr{C}_-(X)$。

a) $X$ 是局部紧致的，但不是紧致的 (习题 2)，并且 $X$ 中的每个序列都有一个簇点（观察$X$ 的每个可数子集都在上面有界）。

b) 设 $f$ 为 $X$ 的映射，使得 $f(x) < x$ 对于所有足够大 $x$。证明存在元素 $c \in X$ 和性质，对于每个 $x \in X$ 都存在 $y \geq x$ 使得 $f(y) \leq c$。 [使用*归谬法*，通过构造$X$的点的序列$(z_n)$，使得$z_{n+1}$是元素$z' \in X$的最小的，使得只要$x \geq z'$就有$f(x) \geq z_n$]。

c) 从 b) 推导出 $X$ 不是仿紧的。