习题 14, § 9

如果 $X$ 包含的每个开覆盖都是 $X$ 的可数覆盖，则拓扑空间 $X$ 被称为 Lindelöf 空间。每个带有可数基的空间都是 Lindelöf 空间，每个准紧空间也是如此。

a) Lindelöf 空间的每个闭子空间都是 Lindelöf 空间。对于 Lindelöf 空间的每个子空间成为 Lindelöf 空间，每个开子空间都是 Lindelöf (cf. 习题 15) 是充分必要的。

b) 如果 $f$ 是 Lindelöf 空间 $X$ 到拓扑空间 $X'$ 的任何连续映射，则 $X'$ 的子空间 $f(X)$ 是 Lindelöf。

c) 拓扑空间的 Lindelöf 子空间的每个可数并都是 Lindelöf。特别是每个可数空间都是 Lindelöf。

d) 如果 $X$ 中的每个序列都有一个簇点，则 Lindelöf 空间 $X$ 是拟紧的（表明公理 $(C''')$ 随后得到验证）。