Exercice 14, § 9

Les notations étant celles de l’exerc. 13, on munit $\mathfrak{F}(X)$ et $\mathscr{R}(X)$ de la topologie induite par la topologie $\mathscr{T}_\Theta$ sur $\mathfrak{P}_0(X)$ (I, p. 101, exerc. 12).

a) Montrer que si X est quasi-compact, il en est de même de $\mathfrak{F}(X)$. (Pour tout ensemble ouvert U dans X, soit $c(U)$ (resp. $m(U)$) l’ensemble des parties fermées M de X telles que $M \subset U$ (resp. $M \cap U \neq \varnothing$). Les $c(U)$ et les $m(U)$ forment un système générateur de la topologie de $\mathfrak{F}(X)$; utiliser alors l’exerc. 1 de I, p. 105).

b) On suppose que X est accessible; soit X’ l’image de X par l’application $x \mapsto \{x\}$ de X dans $\mathfrak{F}(X)$. Soit $\mathscr{H}$ un sous-espace de $\mathfrak{F}(X)$ contenant X’; montrer que si $\mathscr{H}$ est quasi-compact, X est quasi-compact. (Si $(U_\alpha)$ est un recouvrement ouvert de X, remarquer qu’en désignant par $\mathfrak{V}_\alpha$ l’ensemble des $M \in \mathfrak{F}(X)$ tels que $M \cap U_\alpha \neq \varnothing$, $(\mathfrak{V}_\alpha)$ est un recouvrement ouvert de $\mathfrak{F}(X)$.)

c) Si X est localement compact, $\mathscr{R}(X)$ est ouvert dans $\mathfrak{F}(X)$ (utiliser la prop. 10 de I, p. 65).

d) On suppose X accessible. Montrer que, pour que $\mathscr{R}(X)$ soit séparé (resp. régulier, compact, localement compact), il faut et il suffit que X le soit. (Pour les deux premières assertions, utiliser l’exerc. 12 de I, p. 101 et l’exerc. 3 de I, p. 105; pour les deux dernières, utiliser a), b) et l’exerc. 13.)