Bài tập 14, § 9

Các ký hiệu là những ký hiệu của Bài tập 13, ta trang bị cho $\mathfrak{F}(X)$ và $\mathscr{R}(X)$ tôpô cảm sinh bởi tôpô $\mathfrak{T}_\Theta$ trên $\mathfrak{P}_0(X)$ (I, p. 101, Bài tập 12).

a) Bây giờ chứng minh rằng nếu X là quasi-compact, thì điều tương tự cũng đúng đối với $\mathfrak{F}(X)$. (Với mọi tập mở U trong X, gọi $c(U)$ (tương ứng $m(U)$) là tập hợp các tập con đóng M của X sao cho $M \subset U$ (tương ứng $M \cap U \neq \varnothing$). Các $c(U)$ và các $m(U)$ tạo thành một hệ phần tử sinh của tôpô của $\mathfrak{F}(X)$; khi đó sử dụng Bài tập 1 của I, p. 105).

b) Giả sử X là accessible; gọi X’ là ảnh của X bởi ánh xạ $x \mapsto \{x\}$ của X vào $\mathfrak{F}(X)$. Gọi $\mathfrak{R}$ là một không gian con của $\mathfrak{F}(X)$ chứa X’; chứng minh rằng nếu $\mathfrak{R}$ là quasi-compact, thì X là quasi-compact. (Nếu $(U_\alpha)$ là một phủ mở của X, nhận xét rằng, ký hiệu $\mathscr{V}_\alpha$ là tập hợp các $M \in \mathfrak{F}(X)$ sao cho $M \cap U_\alpha \neq \varnothing$, thì $(\mathscr{V}_\alpha)$ là một phủ mở của $\mathfrak{F}(X)$.)

c) Nếu X là compact địa phương, $\mathscr{R}(X)$ là mở trong $\mathfrak{F}(X)$ (sử dụng Mệnh đề 10 của I, p. 65).

d) Giả sử X là accessible. Chứng minh rằng, để $\mathscr{R}(X)$ là tách được (tương ứng chính quy, compact, compact địa phương), điều kiện cần và đủ là X cũng có tính chất đó. (Đối với hai khẳng định đầu, sử dụng Bài tập 12 của I, p. 101 và Bài tập 3 của I, p. 105; đối với hai khẳng định cuối, sử dụng a), b) và Bài tập 13.)