习题 5, § 9

a) 证明习题 7 中定义的非豪斯多夫可达空间 $Y = X/S$使得$Y$的每个点都有一个紧凑的邻域； 1 的像 $\alpha, \beta$ 和 $Y$ 中的 — 1 具有紧致的邻域，且该邻域不是封闭的； $\alpha$的紧致邻域和$\beta$的紧致邻域的交不是拟紧致的，并且这两个邻域的并不是紧致的。

b) 设$X$为$\mathbf{N}$和无限集合$A$中的和。对于每个$x \in X$，令$\mathfrak{G}(x)$为过滤器基，定义如下：如果$x \in \mathbf{N}$，则$\mathfrak{G}(x)$由单个集合$\{ x \}$组成；如果$x \in A$且$S_{x, n}$表示集合，其元素为$x$和整数$\geq n$，则$\mathfrak{G}(x)$由集合$S_{x, n}$组成，其中$n$贯穿$\mathbf{N}$。证明$X$上有拓扑，对于每个$x \in X$，$\mathfrak{G}(x)$是$x$的邻域的基本系统，并且$X$在这个拓扑中是可访问的，但不是Hausdorff。还表明 $X$ 不是拟紧的，但 $X$ 具有稠密紧的子集。

c）证明集合$X$上的两个拓扑，对于每个$X$都是可访问的和准紧的，可以是不同的但可比较的[cf.§ 8，习题7和5b)]。