Bài tập 5, § 9

a) Không gian không tách biệt khả tiếp cận $Y = X/S$ được xác định trong Bài tập 7 của I, p. 101 có tính chất là mọi điểm của $Y$ đều có một lân cận compact; các ảnh $\alpha, \beta$ của 1 và −1 trong $Y$ có các lân cận compact không đóng trong $Y$; giao của một lân cận compact của $\alpha$ và một lân cận compact của $\beta$ không là quasi-compact, và hợp của chúng không là compact.

b) Cho $X$ là tổng của $\mathbf{N}$ và một tập vô hạn $A$; với mọi $x \in X$, gọi $\mathfrak{G}(x)$ là cơ sở lọc được định nghĩa như sau: nếu $x \in \mathbf{N}$, $\mathfrak{G}(x)$ được tạo thành bởi tập đơn $\{x\}$; nếu $x \in A$, và nếu $S_{x,n}$ ký hiệu tập hợp được tạo thành bởi $x$ và các số nguyên $\geq n$, thì $\mathfrak{G}(x)$ là tập hợp các $S_{x,n}$, trong đó $n$ chạy qua $\mathbf{N}$. Chứng minh rằng có một tôpô trên $X$ sao cho $\mathfrak{G}(x)$ là một hệ lân cận cơ bản của $x$ với mọi $x \in X$; $X$ là khả tiếp cận nhưng không tách biệt đối với tôpô này; $X$ không là quasi-compact, nhưng tồn tại trong $X$ các tập compact trù mật khắp nơi.

c) Chứng minh rằng trên cùng tập hợp $X$, hai tôpô của không gian khả tiếp cận quasi-compact có thể so sánh được và phân biệt (xem I, p. 101, Bài tập 7 và I, p. 100, Bài tập 5 b)).