Exercice 5, § 9

a) L’espace accessible non séparé Y = X/S défini dans l’exerc. 7 de I, p. 101 est tel que tout point de Y admet un voisinage compact; les images $\alpha, \beta$ de 1 et −1 dans Y admettent des voisinages compacts non fermés dans Y; l’intersection d’un voisinage compact de $\alpha$ et d’un voisinage compact de $\beta$ n’est pas quasi-compacte, et leur réunion n’est pas compacte.

b) Soit X l’ensemble somme de $\mathbf{N}$ et d’un ensemble infini A; pour tout $x \in X$, soit $\mathfrak{G}(x)$ la base de filtre définie comme suit: si $x \in \mathbf{N}$, $\mathfrak{G}(x)$ est formée du seul ensemble $\{x\}$; si $x \in A$, et si $S_{x,n}$ désigne l’ensemble formé de $x$ et des entiers $\geq n$, $\mathfrak{G}(x)$ est l’ensemble des $S_{x,n}$, où $n$ parcourt $\mathbf{N}$. Montrer qu’il y a une topologie sur X pour laquelle $\mathfrak{G}(x)$ est un système fondamental de voisinages de $x$ pour tout $x \in X$; X est accessible mais non séparé pour cette topologie; X n’est pas quasi-compact, mais il existe dans X des ensembles compacts partout denses.

c) Montrer que sur un même ensemble X, deux topologies d’espace quasi-compact accessible peuvent être comparables et distinctes (cf. I, p. 101, exerc. 7 et I, p. 100, exerc. 5 b)).