Google 翻译生成的粗略草稿，质量较低。术语依照术语表，但句子可能有误；之后会由仔细的译文取代。

历史注记

（括号内的数指本注末尾的参考书目。）

实数 $> 0$ 的乘法群 $\mathbf{R}_+^*$ 理论的历史与用来表示它们的数 $> 0$ 和记号的概念、*幂*的发展历史密切相关。由连续的幂与相同的数形成的“几何级数”的想法可以追溯到埃及人和巴比伦人；希腊数学家对此很熟悉，早在欧几里得 [1] 中，我们就发现了与积分指数 $m, n > 0$ 规则 $a^m a^n = a^{m+n}$ 等价的一般叙述。中世纪时，法国数学家N.Oresme（14世纪）重新发现了这条规则。他是第一个提出分数指数 $> 0$ 的想法，其中记号类似于我们自己的指数以及我们一般所说的相关计算规则项；对于例，他使用了我们应该写成的两个规则

(ab)^{1/n} = a^{1/n} b^{1/n}, \quad (a^m)^{p/q} = (a^{mp})^{1/q} \text{ [2].}

但奥雷斯梅的思想远远领先于他那个时代的数学，无法对同时代的人产生习题的影响，他的论文很快就被遗忘了。一个世纪后，N. Chuquet 重新阐述了欧几里得法则。此外，他在方程中引入了未知数幂的指数记号，并毫不犹豫地使用了指数0和积分指数

< 0

（*）。这次，即使虽然 Chuquet 的作品仍停留在手稿中，似乎并未广泛流传，同构介于指数的“算术级数”和幂的“几何级数”之间的想法也没有再次被忽视；它被 Stifel [4] 扩展到负数和分数指数，并最终导致对数的定义和第一个表的构造，由苏格兰人 J. Napier 在 1614-1620 年独立完成 [5] 和瑞士人 J. Bürgi（他的工作直到 1620 年才出现，尽管他的想法可以追溯到最初的几年） 17日的

(*) Chuquet 为例 $12^1, 12^2, 12^3$ 等、 $12 x, 12 x^2, 12 x^3$ 等、 $12^0$ 为数 12、 $12^{2m}$ 为 $12 x^{-2}$ [3]。

世纪）。 Bürgi 在使用表时，隐含地假定了在 $\mathbf{R}$ 和 $\mathbf{R}_+^*$ 之间建立的同构的连续性；另一方面，纳皮尔在他的定义中明确地表述了它（或者至少与当时允许的连续性电流的模糊概念一样明确）（*）。

我们在此的目的不是要详细讨论对数对数值计算所提供的服务；而是要详细讨论对数对数值计算所提供的服务。从理论上的点来看，它们的重要性可以追溯到无穷小演算的开始，随着 $\log (1 + x)$ 和 $e^x$ 的级数中展开的发现，以及这些函数的微分性质。就对数和指数的定义而言，直到19世纪中叶，人们直观地假设为所有有理数 $x$ 定义的函数 $a^x$ 可以通过连续性扩展到所有实数的集合；直到实数的概念得到了明确的澄清，并从理性的数推导出来，才通过连续性为这个扩张寻求严格的论证。类似的扩张的原理，适当应用后，再次出现在命题1的证明和§ 2的基；由此不仅得出指数和对数的定义，而且正如我们将在章VIII中看到的，还有角度测量。

参考书目

[1] Euclidis Elementa，5 卷，编辑。 J.L。海伯格，莱比锡（Teubner），1883-88 年。 IX，II。 [2] M. Curtze，Zeitschr。数学。物理学，13，补充（1868），p. 65。 [3] N. Chuquet，布尔。圣经。故事数学，13 (1880)，第 737-738 页。 [4] M. Stifel，Arithmetica integra，纽伦堡（1544），第 11 页。 35和249-250。 [5] J. Napier，Mirifici logarithmorum canonis Constructionio，里昂，1620。

(*) Napier 考虑两个点 M、N 同时在两条线上移动，M 的移动是均匀的，N 的移动速度与其横坐标成正比； M 的横坐标就是 N 横坐标的对数定义 ([2], p. 20-21)。