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历史注记

（括号内的数指本注末尾的参考书目。）

我们已经有机会在注平面解析几何的发展，并在空间引导数学家到$n$维空间的概念，这为他们提供了一种极其方便的几何语言，用于简单而简洁地表达关于任意方程的代数定理变量的数，特别是线性代数的所有一般结果。但是，尽管到 19 世纪中叶，这种语言已经成为许多几何学家的习惯，但它仍然纯粹是一个方便的问题，并且缺乏超过三个维数的“直觉”表示或空间，似乎禁止在这样的空间中，“通过连续性”的论证，这种论证完全建立在“直觉”之上，在平面和空间中是允许的。 （三维）空间。在他的研究关于数学分析位置和几何基础上，黎曼是第一个使用这种考虑的人，通过与三维空间类比（参见历史注记关于章I）（*）；在他的例之后，许多数学家被鼓励使用这些论证，并取得了巨大成功，特别是在几个复变量的代数函数理论中。但鉴于当时对空间直觉的控制非常有限，人们可能有理由对此类考虑的论证性值持怀疑态度，并且不允许使用它们，除非纯粹的启发式基，因为往往使某些定理的真理变得可信。因此，庞加莱在 1887 年关于两个复变量的双积分的剩余类的回忆录中，尽可能避免求助于四维空间中的直觉：“Comme cette langue hypergeométrique répugne encore à beaucoup de bons esprits，

(*) 另请参阅L的作品。 Schlafli，其历史可以追溯到同一时期，但直到本世纪才出版[3]。

je n’en ferai qu’un use peu fréquent”；他为此目的所使用的技巧使他在讨论三维空间时能够进行拓扑论证就足够了，他不再犹豫诉诸直觉（[1]）。

此外，康托尔的发现，特别是著名的定理断言$\mathbf{R}$和$\mathbf{R}^n$是等价的[这似乎破坏了维数(*)的整个概念]，表明在阶中要将几何和拓扑置于坚实的基础上，必须将它们完全摆脱对直觉的所有依赖。我们已经注意到（cf.历史注记关于章I），这种需要是现代一般概念拓扑的起源；但即使之前创建了后一个理论，也已经开始对$n$维度空间的拓扑及其直接的推广（“$n$维度流形”）进行严格研究，方法其中属于正确地称为拓扑的分支，称为“组合拓扑”，或者更好的“代数拓扑”。 级数中将有一卷专门介绍拓扑的这个分支，读者可以在那里找到有关其发展的历史阶段的信息；在这个章中，我们仅限于建立实数空间的最基本的拓扑性质和实射影空间，历史上，它们是代数拓扑的方法的起始点。

(*) 有趣的是注，戴德金一知道这个结果，就明白了其自相矛盾的出现的原因，并向康托评论说，当$m \neq n$[2]时，应该可以证明$\mathbf{R}^n$和$\mathbf{R}^m$之间的“双连续一对一”对应是不可能性的。

[1] L。 Schläfli，《Gesammelte mathematische Abhandlungen》，卷。 1，巴塞尔（Birkhauser），1950 年，第 169-387 页。 [2] H. POINCARÉ，Œuvres，卷。 3、p. 443 等。巴黎 (Gauthier-Villars) (1934) [数学学报, 9 (1887), p. 321]。 [3] G. CANTOR 和 R. DEDEKIND。简报，法案。科学。 et Ind.，no. 518，巴黎（赫尔曼）（1937 年）。