Bourbaki

习题 2, § 4

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一般拓扑, VIII

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令KK为非离散Hausdorff拓扑划分环（或域）。

a) 设EE为维数nn除以KK的左向量空间。如果(ai)1≤i≤n(a_i)_{1 \leq i \leq n}是EE的基，并且如果我们通过双射线性映射将KnK^n的迁移到EE拓扑（因子拓扑的乘积）

(xi)↦∑i=1nxiai, (x_i) \mapsto \sum_{i=1}^n x_i a_i,

那么在EE上如此定义的拓扑独立于所选择的基(ai)(a_i)，与EE的加法群结构兼容，并且使得K×EK \times E的映射(t,x)→tx(t, x) \to tx变成EE 是连续的。如果FF是EE的向量子空间，则EE在FF上诱导的拓扑与FF上从任意基开始定义的拓扑相同FF，同上； FF 在 EE 中闭合，CF\mathbf{C}F 在 EE 除非 F=EF = E 中密集。

b) 将章VI, § 1的命题4、5和6推广到环KK除法。 （证明映射X→X−1X \to X^{-1}在阶nn的每个非奇异平方矩阵的邻域中连续KK，当KK不可交换时，使用归纳法在nn：考虑到阶nn、单位矩阵InI_n邻域、注，每一个足够接近InI_n的矩阵XX都可以放进去形式

(10…0λ2⋮In−1λn)⋅(μ1μ2⋯μn0⋮γ0), \begin{pmatrix} 1 & 0 & \ldots & 0 \\ \lambda_2 & & & \\ \vdots & & I_{n-1} & \\ \lambda_n & & & \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} \mu_1 & \mu_2 & \cdots & \mu_n \\ 0 & & & \\ \vdots & & \gamma & \\ 0 & & & \end{pmatrix},

其中In−1I_{n-1}是阶n−1n - 1的单位矩阵，γ\gamma是阶n−1n - 1的非奇异矩阵。）

c) 如果KK是可交换的，并且EE是秩nn的代数超过KK，则EE的拓扑与其环结构兼容。此外，如果EE有单位元素，则EE的单位的群GG在EE中是开密的，并且EE在GG上诱导的拓扑与群结构兼容GG。 （如果ee是EE的单位元素，并且如果xx是EE的单位，那么每个方程xy=e,yx=exy = e, yx = e都有一个且只有一个解yy；对于这些方程中的每一个都考虑等价nn线性方程的系统给出yy相对于EE的基的分量。）

d) 如果KK是非完备域且秩nn超过KK的EE代数，并且如果KK的完备K^\hat{K}是域，则完备代数 EE的E^\hat{E}是将EE的算子环扩展到K^\hat{K}得到的。因此，拓扑除法环的构造例其完成不是除法环。

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