Exercise 7, § 3

Let $A$ be a unital commutative Banach algebra and $\chi \in \mathsf{X}(A)$. For every $x\in A$, put $\|x\|_{\chi}=|\chi (x)|+\|x-\chi (x)\|$. Prove that $x\mapsto \|x\|_{\chi}$ is a norm, that $\|xy\|_{\chi}\leqslant \|x\|_{\chi}\|y\|_{\chi},\|e\|_{\chi}= 1$, and that if $\|e\|= 1$, then $\|x\|\leqslant \|x\|_{\chi}\leqslant 3\|x\|$.