Exercice 7, § 3

Soient A une algèbre de Banach unifère commutative et $\chi \in \mathsf{X}(A)$. Pour tout $x\in A$, on pose $\|x\|_{\chi}=|\chi (x)|+\|x-\chi (x)\|$. Montrer que $x\mapsto \|x\|_{\chi}$ est une norme, que $\|xy\|_{\chi}\leqslant \|x\|_{\chi}\|y\|_{\chi},\|e\|_{\chi}= 1$, et que si $\|e\|= 1$, alors $\|x\|\leqslant \|x\|_{\chi}\leqslant 3\|x\|$.