Bài tập 7, § 3

Cho $A$ là một đại số Banach giao hoán có đơn vị và $\chi \in \mathsf{X}(A)$. Với mọi $x\in A$, đặt $\|x\|_{\chi}=|\chi (x)|+\|x-\chi (x)\|$. Chứng minh rằng $x\mapsto \|x\|_{\chi}$ là một chuẩn, rằng $\|xy\|_{\chi}\leqslant \|x\|_{\chi}\|y\|_{\chi},\|e\|_{\chi}= 1$, và rằng nếu $\|e\|= 1$, thì $\|x\|\leqslant \|x\|_{\chi}\leqslant 3\|x\|$.