Exercice 5, § 1

Algèbre commutative, I

On suppose donnée une suite exacte $A' \xrightarrow{u} A \xrightarrow{v} A'' \to 0$ et deux homomorphismes surjectifs $B' \xrightarrow{a'} A', B'' \xrightarrow{a''} A''$ , où $A, A', A'', B', B''$ sont des modules sur un même anneau. Montrer que si $B''$ est un module projectif, il existe un homomorphisme surjectif $a : B' \oplus B'' \to A$ tel que le diagramme

\begin{array}{cccccc} B' & \xrightarrow{i} & B' \oplus B'' & \xrightarrow{p} & B'' \\ a' \downarrow & & a \downarrow & & \downarrow a'' \\ A' & \xrightarrow{u} & A & \xrightarrow{v} & A'' \end{array}

soit commutatif (i et p étant les applications canoniques).

Solution

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