Exercice 6, § 1

Algèbre commutative, I

On suppose donnée une suite exacte $0 \to A' \xrightarrow{u} A \xrightarrow{v} A''$ et deux homomorphismes injectifs $A' \xrightarrow{a'} C', A'' \xrightarrow{a''} C''$ , où $A, A', A'', C', C''$ sont des modules sur un même anneau. Montrer que, si $C'$ est un module injectif (Alg., chap. II, 3e éd., § 2, exerc. 11), il existe un homomorphisme injectif $a : A \to C' \oplus C''$ tel que le diagramme

\begin{array}{cccccc} A' & \xrightarrow{u} & A & \xrightarrow{v} & A'' \\ a' \downarrow & & a \downarrow & & \downarrow a'' \\ C' & \xrightarrow{i} & C' \oplus C'' & \xrightarrow{p} & C'' \end{array}

soit commutatif (i et p étant les applications canoniques).

Solution

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