Exercice 7, § 1

Algèbre commutative, I

Soient U, V, W trois groupes commutatifs, $f : U \to V, g : V \to W$ des homomorphismes.

a) On considère le diagramme

\begin{array}{ccccccccc} 0 & \longrightarrow & U & \xrightarrow{\alpha} & U \times V & \xrightarrow{\beta} & V & \longrightarrow & 0 \\ & f \downarrow & & & h \downarrow & & -g \downarrow & \\ 0 & \longrightarrow & V & \xrightarrow{\gamma} & W \times V & \xrightarrow{\delta} & W & \longrightarrow & 0 \end{array}

où $\alpha(u) = (u, f(u))$ , $\beta(u, v) = v - f(u)$ , $\gamma(v) = (g(v), v)$ , $\delta(w, v) = w - g(v)$ , $h(u, v) = (g(f(u)), v)$ . Montrer que ce diagramme est commutatif et que ses lignes sont exactes.

b) Déduire de a) et de la prop. 2 du n° 4 une suite exacte

0 \to \mathrm{Ker}\,(f) \to \mathrm{Ker}\,(g \circ f) \to \mathrm{Ker}\,(g) \to

\to \mathrm{Coker}\,(f) \to \mathrm{Coker}\,(g \circ f) \to \mathrm{Coker}\,(g) \to 0.

Donner une définition directe de cette suite exacte.

Solution

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