Exercice 18, § 2

Soit $A$ un anneau absolument plat (exerc. 17).

a) Soit $P$ un $A$-module à droite projectif. Montrer que tout sous-module $E$ de type fini de $P$ est facteur direct de $P$. ((Se ramener au cas où $P$ est libre de type fini. Remarquer alors que $P/E$ est de présentation finie, et utiliser l’exerc. 15). b) Montrer que tout $A$-module à droite projectif $P$ est somme directe de sous-modules monogènes, isomorphes à des idéaux à droite monogènes de $A$. (Utiliser le th. de Kaplansky (Alg., chap. II, 3e éd., § 2, exerc. 3) pour se ramener au cas où $P$ est engendré par une famille dénombrable d’éléments, puis utiliser a)). c) Donner un exemple d’anneau absolument plat $A$ et de $A$-module de type fini et non projectif (considérer un quotient de $A$ par un idéal

(*) Nous modifions la terminologie d’« anneau régulier » introduite en Alg., chap. VIII, § 6, exerc. 15, ce nom désignant aussi une tout autre notion en Algèbre commutative.

non de type fini ; cf. Alg., chap. VIII, § 6, exerc. 15 f), et Alg. comm., chap. II, § 4, exerc. 17).