Bài tập 18, § 2

Cho $A$ là một vành phẳng tuyệt đối (Bài tập 17). (a) Cho $P$ là một A-môđun phải xạ ảnh. Chứng minh rằng mọi môđun con $E$ sinh hữu hạn của $P$ là một nhân tử trực tiếp của $P$. (Rút gọn về trường hợp $P$ là tự do và sinh hữu hạn. Khi đó chú ý rằng $P/E$ là biểu diễn hữu hạn và sử dụng các Bài tập 15.) (b) Chứng minh rằng mọi A-môđun phải xạ ảnh $P$ là tổng trực tiếp của các môđun con đơn sinh đẳng cấu với các iđêan phải đơn sinh của $A$. (Sử dụng Định lý Kaplansky (Đại số, Chương II, § 2, Bài tập 3) để rút gọn bài toán về trường hợp $P$ được sinh bởi một họ đếm được các phần tử, rồi sử dụng (a).) (c) Hãy cho một ví dụ về một vành phẳng tuyệt đối $A$ và một A-môđun sinh hữu hạn không xạ ảnh (xét một môđun thương của $A$ bởi một iđêan không sinh hữu hạn; xem Đại số, Chương VIII, § 6, Bài tập 15(f) và Đại số giao hoán, Chương 11, § 4, Bài tập 17).