Exercice 12, § 2

Dans un anneau A, on désigne par r(a) la racine d'un idéal a.

a) Montrer que, pour trois idéaux, a, b, c de A, on a r(a + bc) = r(a + (b \cap c)) = r(a + b) \cap r(a + c).

b) Donner un exemple d'une suite infinie d'idéaux $(a_n)$ de $A$ telle que $r\left(\bigcap_n a_n\right) \neq \bigcap_n r(a_n)$.

c) Donner un exemple d'idéal principal $a$ tel que $r(a)$ ne soit pas de type fini, et qu'il n'existe aucun entier $n > 0$ tel que $(r(a))^n \subset a$. (Considérer un anneau de valuation non discrète de rang 1.)