Exercice 14, § 4

Soient A un anneau, X = Spec (A) son spectre, P l’ensemble des idéaux premiers minimaux de A.

a) Soit R {p, p′} la relation symétrique et réflexive : il existe un idéal premier p″ de A contenant p + p′ » entre les éléments p, p′ de P ; soit S la relation d’équivalence dont le graphe est le plus petit des graphes d’équivalence contenant le graphe de R (Ens., chap. II, § 6, exerc. 10). Montrer que, si I est une classe d’équivalence suivant S, l’ensemble $V_I = \bigcup_{p \in I} V(p)$ est connexe.

b) Montrer que, si P est fini (et en particulier si A est noethérien), les $V_I$ sont les composantes connexes de X. Ce résultat s’étend-il au cas où P est infini (cf. exerc. 12)?