Bài tập 14, § 4

Cho $A$ là một vành, $X = \operatorname{Spec}(A)$ là phổ của nó và $P$ là tập hợp các iđêan nguyên tố cực tiểu của $A$.

(a) Cho $R \{ p, p' \}$ là quan hệ đối xứng và phản xạ: "tồn tại một iđêan nguyên tố $p$ của $A$ chứa $p + p'$" giữa các phần tử $p, p'$ của $P$; cho $S$ là quan hệ tương đương mà đồ thị của nó là nhỏ nhất trong các đồ thị của những quan hệ tương đương chứa đồ thị của $R$ (Lý thuyết tập hợp, Chương II, § 6, Bài tập 10). Chứng minh rằng, nếu $I$ là một lớp tương đương đối với $S$, thì tập hợp $V_I = \bigcup_{p \in I} V(p)$ là liên thông.

(b) Chứng minh rằng, nếu $P$ là hữu hạn (và đặc biệt nếu $A$ là Noether), thì các $V_I$ là các thành phần liên thông của $X$. Kết quả này có mở rộng đến trường hợp $P$ là vô hạn không (xem Bài tập 12)?