Exercice 19, § 4

a) Soit $\varphi : A \to B$ un homomorphisme d’anneaux. Montrer que, pour tout idéal $b$ de $B$, on a $^a\varphi(V(b)) = V(\overline{\varphi^1}(b))$. b) Déduire de a) que, pour que $^a\varphi(\mathrm{Spec}\,(B))$ soit dense dans $\mathrm{Spec}\,(A)$, il faut et il suffit que $\mathrm{Ker}\,(\varphi)$ soit un nilidéal de $A$. c) Montrer que si tout $b \in B$ s’écrit $b = h\varphi(a)$, où $h$ est inversible dans $B$ et $a \in A$, $^a\varphi$ est un homéomorphisme de $\mathrm{Spec}\,(B)$ sur un sous-espace de $\mathrm{Spec}\,(A)$.