Bài tập 19, § 4

(a) Cho $\phi : A \to B$ là một đồng cấu vành. Chứng minh rằng, với mọi iđêan $b$ của $B$, $\overline{\phi(V(b))} = V(\phi^{-1}(b))$.

(b) Suy ra từ (a) rằng để $^a\phi(\operatorname{Spec}(B))$ trù mật trong $\operatorname{Spec}(A)$, điều kiện cần và đủ là $\operatorname{Ker}(\phi)$ là một iđêan nil của $A$.

(c) Chứng minh rằng, nếu mọi $b \in B$ đều có thể viết dưới dạng $b = h\phi(a)$, trong đó $h$ khả nghịch trong $B$ và $a \in A$, thì $^a\phi$ là một đồng phôi từ $\operatorname{Spec}(B)$ lên một không gian con của $\operatorname{Spec}(A)$.