Exercice 2, § 4

On dit que, dans un espace irréductible X, un point x est générique si $\{x\}$ est partout dense dans X.

a) Si X est un espace de Kolmogoroff (Top. gén., chap. I, 3e éd., § 1, exerc. 2), il admet au plus un point générique ; si X est un espace accessible (Top. gén., chap. I, 3e éd., § 8, exerc. 1), il ne peut admettre un point générique que s'il est réduit à un point.

b) Donner un exemple d'espace accessible irréductible et infini (cf. Top. gén., chap. I, 3e éd., § 8, exerc. 5).

c) Soient X, Y deux espaces irréductibles admettant chacun un point générique ; on suppose en outre que Y admet un seul point générique y. Soit $f : X \to Y$ une application continue ; pour que $f(X)$ soit dense dans Y, il faut et il suffit que, pour tout point générique x de X, on ait $f(x) = y$.

d) Soit $(X_\alpha, f_{\alpha\beta})$ un système projectif d’espaces irréductibles dont l’ensemble d’indices est filtrant ; on suppose que chacun des $X_\alpha$ admet un seul point générique $x_\alpha$. Montrer que si, pour $\alpha \leq \beta$, $f_{\alpha\beta}(X_\beta)$ est dense dans $X_\alpha$, alors $X = \lim X_\alpha$ est irréductible et admet un seul point générique (même méthode que dans l’exerc. 1).