Bài tập 2, § 4

Một điểm $x$ trong một không gian bất khả quy $X$ được gọi là tổng quát nếu $\{x\}$ là trù mật khắp nơi trong $X$.

(a) Nếu $X$ là một không gian Kolmogoroff (Tôpô đại cương, Chương I, § 1, Bài tập 2), nó thừa nhận ít nhất một điểm tổng quát; nếu $X$ là một không gian khả tiếp cận (*Tôpô đại cương, Chương I, § 8, Bài tập 1), nó không thể thừa nhận một điểm tổng quát trừ khi nó chỉ gồm một điểm duy nhất.

(b) Hãy cho một ví dụ về một không gian khả tiếp cận bất khả quy vô hạn (xem Tôpô đại cương, Chương I, § 8, Bài tập 5).

(c) Cho $X$, $Y$ là hai không gian bất khả quy mỗi không gian đều thừa nhận một điểm tổng quát; giả sử thêm rằng $Y$ chỉ thừa nhận một điểm tổng quát $y$. Cho $f : X \to Y$ là một ánh xạ liên tục; để $f(X)$ trù mật trong $Y$, điều kiện cần và đủ là, với mọi điểm tổng quát $x$ của $X$, $f(x) = y$.

(d) Cho $(X_\alpha, f_{\alpha\beta})$ là một hệ ngược của các không gian bất khả quy có tập chỉ số là có hướng; giả sử rằng mỗi $X_\alpha$ thừa nhận một điểm tổng quát duy nhất $x_\alpha$. Chứng minh rằng, nếu, với $\alpha \leq \beta, f_{\alpha\beta}(X_\beta)$ là trù mật trong $X_\alpha$, thì $X = \lim \leftarrow X_\alpha$ là bất khả quy và thừa nhận một điểm tổng quát duy nhất (cùng phương pháp như trong Bài tập 1).