Exercice 24, § 4

a) Soient $A$ un anneau, $M, N$ deux $A$-modules tels que $M$ soit de type fini. Montrer que $\operatorname{Supp}(\operatorname{Hom}_A(M, N))$ est contenu dans l’intersection $\operatorname{Supp}(M) \cap \operatorname{Supp}(N)$.

b) Donner un exemple où $M$ et $N$ sont tous deux de présentation finie et où $\operatorname{Supp}(\operatorname{Hom}_A(M, N))$ est strictement contenu dans $\operatorname{Supp}(M) \cap \operatorname{Supp}(N)$ (prendre $A = \mathbf{Z}_{(p)}$ et $N = A$).

c) Soit $M$ le $\mathbf{Z}$-module somme directe des $\mathbf{Z}/p^k\mathbf{Z}$ ($p$ premier, $k \in \mathbf{N}$). Montrer que $\operatorname{Supp}(\operatorname{Hom}_\mathbf{Z}(M, M))$ n’est pas contenu dans $\operatorname{Supp}(M)$.